เครื่องคิดเลขระบบเชิงเส้น

เครื่องคำนวณระบบเชิงเส้นเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์สำหรับการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น ระบบสมการเชิงเส้นคือชุดของสมการเชิงเส้นที่ต้องแก้พร้อมกัน วิธีแก้ปัญหาของระบบนี้สามารถพบได้หลายวิธี เช่น การกำจัดเกาส์ การกำจัดเกาส์-จอร์แดน กฎของแครมเมอร์ เป็นต้น

จำไว้ว่าต้องคั่นสมการด้วยเส้นตรง และค่าสัมประสิทธิ์และพจน์อิสระต้องคั่นด้วยช่องว่าง เมื่อคลิกที่ "คำนวณ" เครื่องคิดเลขจะแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีกำจัดเกาส์-จอร์แดน และแสดงคำตอบในตารางผลลัพธ์

เครื่องคิดเลขระบบเชิงเส้นออนไลน์

เกี่ยวกับระบบเชิงเส้น

ระบบเชิงเส้นคือชุดของสมการเชิงเส้นที่ต้องแก้ไขพร้อมกันเพื่อกำหนดค่าของตัวแปรที่เกี่ยวข้อง สมการเชิงเส้นเป็นสมการระดับแรกที่มีตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป เช่น:

2x + 3y - z = 7 x - 4y + 5z = 10 3x + y + z = 6

สมการเหล่านี้สามารถเขียนในรูปเมทริกซ์ Ax = b โดยที่ A คือเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ x คือเวกเตอร์ของตัวแปร และ b คือเวกเตอร์ของค่าคงที่ ในตัวอย่างข้างต้น เรามี:

A = [2 3 -1; 1 -4 5; 3 1 1] x = [x; y; z] b = [7; 10; 6]

การแก้ระบบเชิงเส้น หมายถึง การหาค่าของตัวแปร x, y และ z ที่ตรงตามสมการทั้งหมดพร้อมกัน มีหลายเทคนิคในการแก้ระบบเชิงเส้น เช่น การกำจัดเกาส์ การสลายตัวของ LU การสลายตัวของ Cholesky และอื่นๆ

ระบบเชิงเส้นมีการใช้งานมากมายในด้านวิทยาศาสตร์ วิศวกรรม เศรษฐศาสตร์ และด้านอื่นๆ อีกมากมาย ตัวอย่างเช่น สามารถใช้เพื่อสร้างแบบจำลองระบบทางกายภาพ เช่น วงจรไฟฟ้า ระบบเครื่องกล และระบบความร้อน นอกจากนี้ยังใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูล การปรับให้เหมาะสม และด้านอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ประยุกต์

วิธีการคำนวณระบบเชิงเส้น

ด้านล่างนี้เป็นคำอธิบายโดยย่อของวิธีการทั่วไปในการคำนวณระบบเชิงเส้น:

• การกำจัดเกาส์: หรือที่เรียกว่าวิธีการกำจัด Gauss-Jordan วิธีนี้เกี่ยวข้องกับการแปลงเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (หรือล่าง) ผ่านการดำเนินการแถวเบื้องต้น เมื่อเมทริกซ์เป็นรูปสามเหลี่ยมแล้ว ระบบสามารถแก้ไขได้โดยง่ายโดยใช้วิธีการแทนที่
• การสลายตัวของ LU: วิธีนี้เกี่ยวข้องกับการแยกตัวประกอบเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมสองตัว (อันล่างและอันบน) ผ่านการดำเนินการแถวเบื้องต้น เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์จะแยกตัวประกอบโดยใช้การดำเนินการแถวเบื้องต้น จากนั้นระบบจะสามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยใช้เมทริกซ์ตัวประกอบ
• การสลายตัวของ Cholesky: วิธีนี้เป็นรูปแบบเฉพาะของการสลายตัวของ LU สำหรับเมทริกซ์ที่แน่นอนแบบสมมาตรและเป็นบวก มันเกี่ยวข้องกับการแยกตัวประกอบเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ในเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างและทรานสโพสคอนจูเกต จากนั้นจึงแก้ปัญหาระบบสามเหลี่ยมที่ได้
• วิธีเมทริกซ์ผกผัน: วิธีนี้เกี่ยวข้องกับการกลับค่าเมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์และการคูณผลลัพธ์ด้วยเวกเตอร์ของค่าคงที่ แม้ว่าจะเป็นวิธีที่ตรงไปตรงมา แต่อาจมีราคาแพงในการคำนวณสำหรับเมทริกซ์ขนาดใหญ่
• วิธีการของ Jacobi: วิธีนี้เป็นวิธีวนซ้ำที่เกี่ยวข้องกับการแยกย่อยเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์เป็นเมทริกซ์แนวทแยงและความแตกต่าง กำหนดให้เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์เด่นในแนวทแยง
• วิธีเกาส์-ไซเดล: วิธีนี้เป็นวิธีการวนซ้ำอีกวิธีหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการแยกย่อยเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ออกเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างและความแตกต่าง มันคล้ายกับวิธีของ Jacobi แต่มันสามารถลู่เข้าหากันได้เร็วกว่าสำหรับเมทริกซ์บางตัว
• วิธีการผ่อนคลายอย่างต่อเนื่อง: วิธีนี้เป็นส่วนขยายของวิธี Gauss-Seidel ที่เกี่ยวข้องกับการเพิ่มพารามิเตอร์การผ่อนคลายเพื่อเร่งการบรรจบกัน มันจะมีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับเมทริกซ์ที่มีสภาพไม่ดี
• วิธีการวนซ้ำคอนจูเกต: วิธีนี้เป็นวิธีวนซ้ำที่มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับเมทริกซ์ที่แน่นอนแบบสมมาตรและบวก มันเกี่ยวข้องกับการเลือกชุดของเวกเตอร์การค้นหาแบบมุมฉากที่ได้รับการปรับปรุงซ้ำแล้วซ้ำอีกเพื่อบรรจบกับโซลูชัน
• วิธีการของ Krylov: วิธีนี้เป็นอีกวิธีหนึ่งที่ใช้แนวคิดของพื้นที่ Krylov ซึ่งเป็นพื้นที่ย่อยที่สร้างขึ้นโดยการใช้เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์กับเวกเตอร์ วิธีการนี้เกี่ยวข้องกับการฉายเวกเตอร์ของค่าคงที่ไปยังพื้นที่ Krylov และลดข้อผิดพลาดในการประมาณให้น้อยที่สุด
• วิธีการสลายตัวของ QR: วิธีนี้เกี่ยวข้องกับการแยกตัวประกอบเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์เป็นเมทริกซ์มุมฉากและเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นและคำนวณค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ