線形システム計算機は、線形方程式系の解を見つけるための便利なツールです。線形方程式系は、同時に解く必要がある一連の線形方程式です。このシステムの解は、ガウスの消去法、ガウス・ジョーダンの消去法、クラメールの法則など、いくつかの方法を使用して見つけることができます。
方程式は線で区切る必要があり、係数と独立項はスペースで区切る必要があることに注意してください。 「計算」をクリックすると、電卓はガウス・ジョーダン消去法を使用して連立方程式を解き、結果表に解を表示します。
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オンライン線形システム電卓
リニアシステムズについて
線形システムは、関連する変数の値を決定するために同時に解決する必要がある一連の線形方程式です。線形方程式は、次のような 1 つ以上の変数を持つ 1 次方程式です。
2x + 3y - z = 7 x - 4y + 5z = 10 3x + y + z = 6
これらの方程式は行列形式 Ax = b で記述できます。ここで、A は係数の行列、x は変数のベクトル、b は定数のベクトルです。上記の例では、次のようになります。
A = [2 3 -1; 1 -4 5; 3 1 1] x = [x; y; z] b = [7; 10; 6]
線形システムを解くということは、すべての方程式を同時に満たす変数 x、y、および z の値を見つけることを意味します。ガウス消去法、LU 分解、コレスキー分解など、線形システムを解くための手法がいくつかあります。
線形システムには、科学、工学、経済学、その他多くの分野で多くの用途があります。たとえば、電気回路、機械システム、熱システムなどの物理システムをモデル化するために使用できます。それらは、データ分析、最適化、および応用数学の他の分野でも使用されます。
線形システムの計算方法
以下は、線形システムを計算する一般的な方法のそれぞれの簡単な説明です。
- ガウス消去法: Gauss-Jordan 消去法としても知られるこの方法は、基本的な行操作によって係数の行列を上 (または下) 三角行列に変換することを含みます。行列が三角化されると、代入法を使用してシステムを簡単に解くことができます。
- LU 分解: この方法では、基本的な行操作によって、係数の行列を 2 つの三角行列 (1 つは下側、もう 1 つは上側) に因数分解します。係数の行列は基本行演算を使用して因数分解され、因数分解された行列を使用してシステムを簡単に解くことができます。
- コレスキー分解: この方法は、対称行列と正定値行列の LU 分解の特殊な形式です。これには、係数の行列を下三角行列とその共役転置に因数分解し、結果の三角方程式を解くことが含まれます。
- 逆行列法: この方法では、係数の行列を反転し、その結果に定数のベクトルを掛けます。簡単な方法ですが、大規模な行列の場合、計算コストが高くなる可能性があります。
- ヤコビの方法: この方法は、係数の行列を対角行列とそれらの差に分解することを含む反復法です。係数の行列が対角的に優勢である必要があります。
- ガウス・ザイデル法: この方法は、係数の行列を下三角行列とそれらの差に分解することを含む別の反復方法です。これはヤコビの方法に似ていますが、一部の行列では収束が速くなります。
- 逐次緩和法: この方法は、収束を高速化するために緩和パラメーターを追加することを含む Gauss-Seidel 方法の拡張です。これは、条件の悪い行列に特に役立ちます。
- 共役反復法: この方法は、対称行列と正定値行列に特に役立つ反復法です。これには、解に収束するために反復的に洗練された直交検索ベクトルのセットを選択することが含まれます。
- クリロフの方法: この方法は、係数の行列をベクトルに適用することによって生成される部分空間であるクリロフ空間のアイデアを使用する別の反復方法です。この方法では、定数のベクトルをクリロフ空間に射影し、近似誤差を最小限に抑えます。
- QR 分解方法: この方法では、係数の行列を直交行列と上三角行列に因数分解します。線形システムを解き、行列の固有値と固有ベクトルを計算するために使用できます。
