Uma calculadora de sistemas lineares é uma ferramenta útil para encontrar as soluções de sistemas de equações lineares. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares que devem ser resolvidas simultaneamente. As soluções desse sistema podem ser encontradas utilizando diversos métodos, como a eliminação de Gauss, a eliminação de Gauss-Jordan, a regra de Cramer, entre outros.
Lembrando que as equações devem ser separadas por linha e os coeficientes e o termo independente devem ser separados por espaço. Ao clicar em “Calcular”, a calculadora irá resolver o sistema de equações utilizando o método da eliminação de Gauss-Jordan e exibir as soluções na tabela de resultados.
Sumário
Calculadora de Sistemas Lineares Online
Sobre Sistemas Lineares
Um sistema linear é um conjunto de equações lineares que devem ser resolvidas simultaneamente para determinar os valores das variáveis envolvidas. As equações lineares são equações de primeiro grau com uma ou mais variáveis, como:
2x + 3y - z = 7 x - 4y + 5z = 10 3x + y + z = 6
Essas equações podem ser escritas na forma matricial Ax = b, onde A é a matriz dos coeficientes, x é o vetor das variáveis e b é o vetor das constantes. No exemplo acima, temos:
A = [2 3 -1; 1 -4 5; 3 1 1] x = [x; y; z] b = [7; 10; 6]
Resolver um sistema linear significa encontrar os valores das variáveis x, y e z que satisfazem todas as equações simultaneamente. Existem várias técnicas para resolver sistemas lineares, como a eliminação de Gauss, decomposição LU, decomposição de Cholesky, entre outras.
Os sistemas lineares têm muitas aplicações na ciência, na engenharia, na economia e em muitas outras áreas. Eles podem ser usados, por exemplo, para modelar sistemas físicos, como circuitos elétricos, sistemas mecânicos e sistemas térmicos. Eles também são usados em análise de dados, otimização e outras áreas da matemática aplicada.
Métodos de calcular Sistemas Lineares
Segue abaixo uma breve descrição de cada um dos métodos comuns de cálculo de sistemas lineares:
- Eliminação de Gauss: também conhecido como método de eliminação de Gauss-Jordan, esse método envolve a transformação da matriz dos coeficientes em uma matriz triangular superior (ou inferior) através de operações elementares de linha. Uma vez que a matriz está triangularizada, o sistema pode ser facilmente resolvido usando o método de substituição.
- Decomposição LU: esse método envolve a fatoração da matriz dos coeficientes em duas matrizes triangulares (uma inferior e outra superior), através de operações elementares de linha. A matriz dos coeficientes é fatorada usando operações elementares de linha, e então o sistema pode ser facilmente resolvido usando as matrizes fatoradas.
- Decomposição de Cholesky: esse método é uma forma especializada de decomposição LU para matrizes simétricas e definidas positivas. Ele envolve a fatoração da matriz dos coeficientes em uma matriz triangular inferior e sua transposta conjugada, e depois a resolução dos sistemas triangulares resultantes.
- Método da matriz inversa: esse método envolve a inversão da matriz dos coeficientes e a multiplicação do resultado pelo vetor das constantes. Embora seja um método direto, ele pode ser computacionalmente caro para matrizes grandes.
- Método de Jacobi: esse método é um método iterativo que envolve a decomposição da matriz dos coeficientes em uma matriz diagonal e suas diferenças. Ele requer que a matriz dos coeficientes seja diagonalmente dominante.
- Método de Gauss-Seidel: esse método é outro método iterativo que envolve a decomposição da matriz dos coeficientes em uma matriz triangular inferior e suas diferenças. Ele é semelhante ao método de Jacobi, mas pode convergir mais rapidamente para algumas matrizes.
- Método de relaxação sucessiva: esse método é uma extensão do método de Gauss-Seidel que envolve a adição de um parâmetro de relaxação para acelerar a convergência. Ele pode ser especialmente útil para matrizes mal condicionadas.
- Método da iteração conjugada: esse método é um método iterativo que é especialmente útil para matrizes simétricas e positivas definidas. Ele envolve a escolha de um conjunto de vetores de busca ortogonais que são iterativamente refinados para convergir para a solução.
- Método de Krylov: esse método é outro método iterativo que usa a ideia de espaços de Krylov, que são subespaços gerados pela aplicação da matriz dos coeficientes em um vetor. O método envolve a projeção do vetor das constantes no espaço de Krylov e a minimização do erro de aproximação.
- Método de decomposição QR: esse método envolve a fatoração da matriz dos coeficientes em uma matriz ortogonal e uma matriz triangular superior. Ele pode ser usado para resolver sistemas lineares e para calcular os autovalores e autovetores da matriz.
