En lineær systemberegner er et nyttigt værktøj til at finde løsninger på lineære ligningssystemer. Et lineært ligningssystem er en samling af lineære ligninger, der skal løses samtidigt. Løsningerne til dette system kan findes ved hjælp af forskellige metoder såsom Gauss-elimination, Gauss-Jordan-elimination, Cramers regel, osv.
Husk at ligningerne skal adskilles med linjeskift, og koefficienterne samt den uafhængige term skal adskilles med mellemrum. Når du klikker på "Beregn", vil lommeregneren løse ligningssystemet ved hjælp af Gauss-Jordan-eliminationsmetoden og vise løsningerne i resultattabellen.
Sumário
Linear Systems Calculator Online
Om Lineære systemer
Et lineært system er en samling af lineære ligninger, der skal løses samtidig for at bestemme værdierne af de involverede variabler. Lineære ligninger er ligninger af første grad med en eller flere variabler, såsom:
2x + 3y - z = 7 x - 4y + 5z = 10 3x + y + z = 6
Disse ligninger kan skrives i matricial form Ax = b, hvor A er koefficientmatricen, x er variabelvektoren og b er konstantvektoren. I det ovenstående eksempel har vi:
A = [2 3 -1; 1 -4 5; 3 1 1] x = [x; y; z] b = [7; 10; 6]
At løse et lineært system betyder at finde værdierne af variablerne x, y og z, som opfylder alle ligninger samtidig. Der er flere teknikker til at løse lineære systemer, såsom Gauss elimination, LU-dekomponering, Cholesky-dekomponering, blandt andre.
Lineære systemer har mange anvendelser inden for videnskab, ingeniørarbejde, økonomi og mange andre områder. De kan for eksempel bruges til at modellere fysiske systemer som elektriske kredsløb, mekaniske systemer og termiske systemer. De bruges også til dataanalyse, optimering og andre områder af anvendt matematik.
Metoder til beregning af lineære systemer
Her er en kort beskrivelse af hver af de almindelige metoder til beregning af lineære systemer:
- Gauss-elimination: Også kendt som Gauss-Jordan-eliminationsmetoden, involverer denne metode transformationen af koefficientmatricen til en øvre (eller nedre) triangulær matrix ved hjælp af elementære rækkeoperationer. Når matricen er triangulær, kan systemet let løses ved hjælp af substitutionsmetoden.
- LU-faktorisering: denne metode indebærer faktorisering af koefficientmatricen i to trekantede matricer (en nedre og en øvre), ved hjælp af elementære rækkeoperationer. Koefficientmatricen faktoriseres ved hjælp af elementære rækkeoperationer, og derefter kan systemet løses let ved hjælp af de faktoriserede matricer.
- Cholesky-faktorisering: Denne metode er en specialiseret form for LU-dekomponering af symmetriske og positivt bestemte matricer. Den indebærer faktorisering af koefficientmatricen i en nedre triangulær matrix og dens konjugerede transponerede og derefter løsningen af de resulterende trekantede systemer.
- Invers metode af matricen: denne metode involverer omvendelsen af koefficientmatricen og multiplikationen af resultatet med konstantvektoren. Selvom det er en direkte metode, kan den være computationally dyrt for store matricer.
- Jacobi-metoden: denne metode er en iterativ metode, der involverer nedbrydning af koefficientmatricen til en diagonalmatrice og dens differencer. Det kræver, at koefficientmatricen er diagonalt dominerende.
- Gauss-Seidel metode: denne metode er en anden iterativ metode, der involverer nedbrydning af koefficientmatrixen til en nedre trekantsmatrix og dens forskelle. Det ligner Jacobi-metoden, men kan konvergere hurtigere for nogle matricer.
- Successiv afspændingsmetode: Denne metode er en udvidelse af Gauss-Seidel metoden, som involverer tilføjelsen af en afslapningsparameter for at accelerere konvergensen. Det kan være særligt nyttigt for dårligt konditionerede matricer.
- Conjugate gradient metode: denne metode er en iterativ metode, der er særlig nyttig til symmetriske og positivt definite matricer. Den indebærer valg af en række ortogonale søgevektorer, der iterativt forbedres for at konvergere mod løsningen.
- Krylov metode: denne metode er en anden iterativ metode, der bruger ideen om Krylov-rum, som er underrum genereret ved anvendelse af koefficientmatricen på en vektor. Metoden indebærer at projektionere konstantvektoren i Krylov-rummet og minimere tilnærmelsesfejlen.
- QR decomposition metode: denne metode indebærer faktorisering af koefficient matrixen i en ortogonal matrix og en øvre triangulær matrix. Det kan bruges til at løse lineære systemer og til at beregne egenværdier og egenvektorer af matricen.
