Een lineair systeem calculator is een handig hulpmiddel om oplossingen te vinden voor lineaire vergelijkingssystemen. Een lineair vergelijkingssysteem is een set lineaire vergelijkingen die tegelijkertijd moeten worden opgelost. De oplossingen van dit systeem kunnen worden gevonden met behulp van verschillende methoden, zoals Gauss-eliminatie, Gauss-Jordan-eliminatie, de regel van Cramer, enzovoort.
Onthoud dat de vergelijkingen op verschillende regels moeten staan en dat de coëfficiënten en de constante termen moeten worden gescheiden door een spatie. Als u op "Berekenen" klikt, zal de rekenmachine het stelsel vergelijkingen oplossen met behulp van de Gauss-Jordan-eliminatiemethode en de oplossingen in de resultaattabel weergeven.
Sumário
Rekenmachine voor Online Lineaire Systemen
Over Lineaire Systemen
Een lineair systeem is een set lineaire vergelijkingen die tegelijkertijd moeten worden opgelost om de waarden van de betrokken variabelen te bepalen. Lineaire vergelijkingen zijn vergelijkingen van de eerste graad met één of meer variabelen, zoals:
2x + 3y - z = 7 x - 4y + 5z = 10 3x + y + z = 6
Deze vergelijkingen kunnen worden geschreven in de matrixvorm Ax = b, waarbij A de matrix van de coëfficiënten is, x de vector van de variabelen en b de vector van de constanten. In het bovenstaande voorbeeld hebben we:
A = [2 3 -1; 1 -4 5; 3 1 1] x = [x; y; z] b = [7; 10; 6]
Het oplossen van een lineair systeem betekent het vinden van de waarden van de variabelen x, y en z die alle vergelijkingen tegelijkertijd bevredigen. Er zijn verschillende technieken om lineaire systemen op te lossen, zoals Gauss-eliminatie, LU-decompositie, Cholesky-decompositie, enzovoort.
Lineaire systemen hebben veel toepassingen in wetenschap, techniek, economie en vele andere gebieden. Ze kunnen bijvoorbeeld worden gebruikt om fysieke systemen te modelleren, zoals elektrische circuits, mechanische systemen en thermische systemen. Ze worden ook gebruikt in gegevensanalyse, optimalisatie en andere gebieden van toegepaste wiskunde.
Methoden om lineaire systemen te berekenen
Hieronder volgt een korte beschrijving van elk van de gangbare methoden voor het berekenen van lineaire systemen:
- Gauss-eliminatie: ook bekend als de Gauss-Jordan-eliminatiemethode, houdt deze methode in dat de coëfficiëntenmatrix wordt omgezet in een boven- (of onder) driehoeksmatrix door elementaire rijoperaties. Eenmaal getriangulariseerd, kan het systeem eenvoudig worden opgelost met behulp van de substitutiemethode.
- LU-decompositie: dit methode houdt in dat de matrix van de coëfficiënten wordt gefactoriseerd in twee driehoeksmatrices (een onderste en een bovenste) door middel van elementaire rijbewerkingen. De matrix van de coëfficiënten wordt gefactoriseerd met behulp van elementaire rijbewerkingen en vervolgens kan het systeem eenvoudig worden opgelost met de gefactoriseerde matrices.
- Cholesky-ontbinding: Dit is een gespecialiseerde vorm van LU-decompositie voor symmetrische en positief definiete matrices. Het houdt in dat de matrix van coëfficiënten wordt gefactoriseerd in een onderste driehoeksmatrix en zijn geconjugeerde transponant, en vervolgens worden de resulterende driehoekige systemen opgelost.
- Methode van de inverse matrix: deze methode omvat het omkeren van de matrix van de coëfficiënten en het vermenigvuldigen van het resultaat met de constante vector. Hoewel het een directe methode is, kan het rekenkundig duur zijn voor grote matrices.
- Jacobi-methode: Deze methode is een iteratieve methode die omvat het ontbinden van de matrix van de coëfficiënten in een diagonale matrix en zijn verschillen. Het vereist dat de matrix van de coëfficiënten diagonaal dominant is.
- Gauss-Seidel methode: deze methode is een andere iteratieve methode die inhoudt dat de coefficientenmatrix wordt gedecomposeerd in een onderste driehoeksmatrix en zijn verschillen. Het lijkt op de Jacobi-methode, maar kan sneller convergeren voor sommige matrices.
- Methode van progressieve spierontspanning: dit methode is een uitbreiding van de Gauss-Seidel-methode die het toevoegen van een relaxatieparameter om de convergentie te versnellen met zich meebrengt. Het kan vooral nuttig zijn voor slecht geconditioneerde matrices.
- Conjugate gradient method: deze methode is een iteratieve methode die bijzonder nuttig is voor symmetrische en positief gedefinieerde matrices. Het houdt in dat een set orthogonale zoekvectoren wordt gekozen die iteratief worden verfijnd om naar de oplossing te convergeren.
- Krylov-methode: dit is een andere iteratieve methode die gebruikmaakt van het idee van Krylov-ruimtes, die subruimtes zijn die worden gegenereerd door de toepassing van de matrix met coëfficiënten op een vector. De methode omvat de projectie van de vector van de constanten in de Krylov-ruimte en de minimalisatie van de benaderingsfout.
- QR-decompositiemethode: Deze methode omvat het ontbinden van de matrix van de coëfficiënten in een orthogonale matrix en een bovenste driehoeksmatrix. Het kan worden gebruikt om lineaire systemen op te lossen en om de eigenwaarden en eigenvectoren van de matrix te berekenen.
