선형 시스템 계산기

선형 시스템 계산기는 선형 방정식 체계의 해를 찾는 데 유용한 도구입니다. 선형 방정식 체계는 동시에 해결해야 하는 일련의 선형 방정식입니다. 이러한 시스템의 해는 가우스 소거법, 가우스-조던 소거법, 크래머 규칙 등 다양한 방법을 사용하여 구할 수 있습니다.

기억하십시오. 방정식은 줄 별로 나눠야 하며 계수와 독립항은 공백으로 구분되어야 합니다. "계산"을 클릭하면, 계산기는 가우스-조던 소거법을 사용하여 방정식 체계를 해결하고 결과 테이블에 솔루션을 표시합니다.

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선형 시스템에 대해

선형 시스템은 동시에 해결되어야 하는 일련의 선형 방정식으로, 관련 변수의 값을 결정하기 위한 것이다. 선형 방정식은 한 개 이상의 변수와 일차 방정식이다.

2x + 3y - z = 7 x - 4y + 5z = 10 3x + y + z = 6

이 방정식들은 행렬 형태인 Ax = b로 쓰여질 수 있으며, 여기서 A는 계수 행렬, x는 변수 벡터, b는 상수 벡터입니다. 위의 예시에서는:

A = [2 3 -1; 1 -4 5; 3 1 1] x = [x; y; z] b = [7; 10; 6]

선형 시스템을 해결하는 것은 동시에 모든 방정식을 만족시키는 x, y 및 z 변수의 값을 찾는 것을 의미합니다. 가우스 소거, LU 분해, 쇼레스키 분해 등과 같은 여러 기법이 있습니다.

선형 시스템은 과학, 공학, 경제 및 다른 여러 분야에 많은 응용이 있습니다. 예를 들어 전기 회로, 기계 시스템 및 열 시스템과 같은 물리 시스템을 모델링하는 데 사용될 수 있습니다. 또한 데이터 분석, 최적화 및 응용 수학의 다른 분야에서도 사용됩니다.

선형 시스템 계산 방법

아래는 일반적인 선형 시스템 계산 방법 각각에 대한 간단한 설명입니다:

• 가우스 소거: 가우스-조던 소거법으로도 알려진이 방법은 계수 행렬을 원소 연산을 통해 상삼각 행렬(또는 하삼각 행렬)로 변환하는 것을 포함합니다. 행렬이 삼각화되면 대체 방법을 사용하여 시스템을 쉽게 해결할 수 있습니다.
• LU 분해: 이 방법은 계수 행렬을 하향 삼각행렬과 상향 삼각행렬 두 개로 분해하여 (행의 기본 연산을 통해)할 수 있습니다. 계수 행렬은 행의 기본 연산을 사용하여 분해되고, 그런 다음 분해된 행렬을 사용하여 시스템을 쉽게 해결할 수 있습니다.
• 촐레스키 분해: 이 방법은 대칭이고 양의 정부호 행렬을 위한 특수한 LU 분해의 한 형태입니다. 이 방법은 계수 행렬을 하삼각 행렬과 그 전치 공액으로 분해한 후, 그 결과로 얻은 삼각형 시스템을 해결하는 과정을 포함합니다.
• 역행렬 방법: 이 방법은 계수 행렬을 뒤집고 결과를 상수 벡터와 곱하는 것을 포함한다. 이 방법은 직접적이지만 큰 행렬에 대해 계산 비용이 많이 들 수 있다.
• 자코비 방법: 이 방법은 계수 행렬을 대각 행렬과 그 차이로 분해하는 반복적인 방법입니다. 계수 행렬이 대각적으로 우세해야합니다.
• 가우스-세이델 방법: 이 방법은 계수 행렬을 하삼각 행렬로 분해하는 반복적인 다른 방법입니다. Jacobi 방법과 유사하지만 일부 행렬에 더 빨리 수렴할 수 있습니다.
• 연속적인 이완 방법: 이 방법은 수렴 속도를 높이기 위해 완전 고른 속도 방법에 플렉시블리 파라미터를 추가한 것이다. 특히 조건이 나쁜 행렬에 유용하다.
• 공유반복법: 이 방법은 특히 대칭 양의 정부호 행렬에 특히 유용한 반복적인 방법입니다. 이 방법은 해결책으로 수렴하기 위해 반복적으로 개선되는 직교하는 검색 벡터 세트를 선택하는 것을 포함합니다.
• 크류로프 방법: 이 방법은 계수 행렬을 벡터에 적용하여 생성된 부분 공간인 크릴로프 공간을 사용하는 다른 반복적인 방법입니다. 이 방법은 상수 벡터를 크릴로프 공간에 투영하고 근사 오차를 최소화하는 것을 포함합니다.
• QR 분해 방법: 이 방법은 계수 행렬을 직교 행렬과 상삼각 행렬로 분해하는 것을 포함합니다. 선형 시스템을 해결하거나 행렬의 고유값과 고유벡터를 계산하는 데 사용될 수 있습니다.