लीनियर सिस्टम कैलकुलेटर

एक रैखिक प्रणाली कैलकुलेटर रैखिक समीकरण तंत्रों के समाधान ढूंढने के लिए एक उपयोगी औजार होता है। रैखिक समीकरण सिस्टम एक समय में हल किए जाने चाहिए, जो रैखिक समीकरणों का एक सेट होता है। इस सिस्टम के समाधान को विभिन्न तरीकों से ढूंढा जा सकता है, जैसे कि गॉस का समापन, गॉस-जॉर्डन का समापन, क्रेमर का नियम, आदि।

ध्यान दें कि समीकरणों को पंक्ति द्वारा अलग किया जाना चाहिए और समद्यांश और स्वतंत्र शब्द को स्पेस से अलग किया जाना चाहिए। "कैलकुलेट" पर क्लिक करने पर, कैलकुलेटर गॉस-जोर्डन का संक्षेपण विधि का उपयोग करके समीकरण सिस्टम को हल करेगा और परिणाम तालिका में समाधान दिखाएगा।

लीनियर सिस्टम कैलकुलेटर ऑनलाइन

लीनियर सिस्टम्स के बारे में

एक रैखिक प्रणाली एक रेखीय समीकरणों का समूह है जो समयानुसार निर्धारित की जानी चाहिए जिससे शामिल चर की मानें निर्धारित की जा सकें। रेखीय समीकरण प्रथम अभिघात के समीकरण होते हैं जिनमें एक या एक से अधिक चर होते हैं, जैसे:

2x + 3y - z = 7 x - 4y + 5z = 10 3x + y + z = 6

ये समीकरण मैट्रिक्स रूप में लिखी जा सकती हैं Ax = b, जहां A संकेतों की मैट्रिक्स है, x परिवर्तनों का वेक्टर है और b स्थिरों का वेक्टर है। ऊपर के उदाहरण में, हमारे पास:

A = [2 3 -1; 1 -4 5; 3 1 1] x = [x; y; z] b = [7; 10; 6]

लीनियर सिस्टम को हल करना यानी x, y और z की मान की तलाश करना जो सभी समकालिक समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। लीनियर सिस्टम को हल करने के लिए कई तकनीकें हैं, जैसे गॉस की प्रथा, LU विघटन, चौलस्की विघटन, आदि।

लीनियर सिस्टम कोई भी ऐसे व्यूह हैं जिनमे प्रत्येक तत्व का एक ही कार्य होता है जो वास्तविक और इर्द ज़ेर के सिद्धांतों का पालन करता है। ये बड़ी संरचना से संबंधित समस्याओं के हल करने के लिए इस्तेमाल होते हैं। इनसे प्रॉब्लेम को सुलझाने का तरीका प्राप्त होता है तथा बहुत से व्यवसायिक प्रश्नों का हल निकालने के लिए इनका उपयोग किया जाता है।

लिनियर सिस्टम की गणना के विधि

नीचे प्रत्येक सांप्रतिक रूप से इकाइयों की गणना के सामान्य विधियों का संक्षेप वर्णन दिया गया है:

• गॉस का मिटाना: गौस-जोर्डन के नाम से भी जाना जाता है, यह विधि संकोचकों का मैट्रिक्स को पंचमकीय मैट्रिक्स (या निचे) में तब्दील करने के माध्यम से होती है। एक बार जब मैट्रिक्स पंचमकीय बन जाती है, तो उसे प्रतिस्थापना विधि का प्रयोग करके आसानी से हल किया जा सकता है।
• एलयू डिकोम्पोजिशन: यह विधि संख्याओं की मात्रा को दो त्रिकोणीय मात्राओं में (एक निचली और एक ऊपरी) घटाने का प्रक्रियात्मक है, जिसमें पंक्ति के प्रक्रियाओं का उपयोग किया जाता है। संख्याओं की मात्रा को पंक्तियों के प्रक्रियात्मक चरणों का उपयोग करके घटाया जाता है, और फिर प्रणाली को आसानी से संक्षेपित किया जा सकता है।
• चोलेस्की अलग करना: यह विधि विशिष्ट रूप से संज्ञात और पुष्ट वाली पंचविंशती और उसके संक्रमित परिस्परक्रिया की एक विशेषीकरण LU का एक विशेष रूप है। इसमें समीकरणों की पंचविंशती को एक निचले त्रिभुजीय मैट्रिक्स और उसके संयोजित प्रसार की विश्लेषण की जाती है, और फिर परिणामी त्रिभुजीय सिस्टमों को हल करना होता है।
• माइआ का विपरीत मात्रिका विधि: इस विधि में संकेतकों की मैट्रिक्स का उल्टाव और परिणाम को स्थायी संख्याओं के वेक्टर से गुणा किया जाता है। यह एक सीधी विधि है, लेकिन बड़ी मैट्रिक्स के लिए इसका कंप्यूटेशनल खर्चा हो सकता है।
• जैकोबी विधि: यह एक अभिक्रियात्मक विधि है जो संकेतकों की मैट्रिक्स के विघटन और उसके अंतर को शामिल करती है। इसे संकेतकों की मैट्रिक्स को रूद्राकार प्रबल बनाने की आवश्यकता है।
• गॉस-साइडल विधि: यह एक और आंकड़ों की पंक्तियों की एक निचली त्रिभुजीय मैट्रिक्स में डिकॉम्पोजीशन शामिल करने और उनके अंतरों को में एक पुनरावृत्तिशील विधि है। यह जैकोबी की तरह है, लेकिन कुछ मैट्रिक्स के लिए यह तेजी से संघटित हो सकता है।
• क्रमिक शांति पद्धति: यह विधि गौस-सीडेल विधि का एक विस्तार है जिसमें संघटन की गति बढ़ाने के लिए विशेष रिफ्लेक्शन पैरामीटर को जोड़ा जाता है। यह खासकर मैत्रिक्स के खराब स्थिति में उपयोगी हो सकता है।
• कंजगेट इटरेशन मेथड: यह एक ऐतिहासिक विधा है जो विशेष रूप से सममित और सकारात्मक परिभाषित मैट्रिक्स के लिए उपयोगी है। इसमें एक सेट ऑर्थोगनल सर्च वेक्टर्स के चयन को शामिल किया जाता है, जो समाधान को प्राप्त करने के लिए नकली रूप से परिष्कृत किए जाते हैं।
• क्राइलोव विधि: यह एक और iterative method है जो Krylov spaces की विचार का उपयोग करता है, जो कोई वेक्टर पर coefficient matrix के एप्लिकेशन से generate होते हैं। इस method में constant vector को Krylov space में project किया जाता है और approximation error को minimize किया जाता है।
• QR विघटन विधि: इस विधि में संकेतकों की मात्रा को एक अक्षरात्मक मैट्रिक्स और एक ऊर्ध्वाधारी मैट्रिक्स में अंशपटन किया जाता है। इसका उपयोग रैखिक सिस्टमों को हल करने और मैट्रिक्स के अपने मान और अपने ईजीन तथा ईजीन सह-पूरकों की गणना के लिए किया जा सकता है।