Ein Rechner für lineare Systeme ist ein nützliches Werkzeug, um Lösungen für lineare Gleichungssysteme zu finden. Ein System linearer Gleichungen ist ein Satz linearer Gleichungen, die gleichzeitig gelöst werden müssen. Die Lösungen dieses Systems können unter Verwendung verschiedener Methoden gefunden werden, wie z.
Denken Sie daran, dass die Gleichungen durch eine Linie und die Koeffizienten und der unabhängige Term durch ein Leerzeichen getrennt werden müssen. Durch Klicken auf „Berechnen“ löst der Rechner das Gleichungssystem nach dem Gauß-Jordan-Eliminationsverfahren und zeigt die Lösungen in der Ergebnistabelle an.
Sumário
Online-Rechner für lineare Systeme
Über lineare Systeme
Ein lineares System ist ein Satz linearer Gleichungen, die gleichzeitig gelöst werden müssen, um die Werte der beteiligten Variablen zu bestimmen. Lineare Gleichungen sind Gleichungen ersten Grades mit einer oder mehreren Variablen, wie zum Beispiel:
2x + 3y - z = 7 x - 4y + 5z = 10 3x + y + z = 6
Diese Gleichungen können in der Matrixform Ax = b geschrieben werden, wobei A die Matrix der Koeffizienten, x der Vektor der Variablen und b der Vektor der Konstanten ist. Im obigen Beispiel haben wir:
A = [2 3 -1; 1 -4 5; 3 1 1] x = [x; y; z] b = [7; 10; 6]
Ein lineares System zu lösen bedeutet, die Werte der Variablen x, y und z zu finden, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Es gibt verschiedene Techniken, um lineare Systeme zu lösen, wie unter anderem Gauß-Eliminierung, LU-Zerlegung, Cholesky-Zerlegung.
Lineare Systeme haben viele Anwendungen in Wissenschaft, Technik, Wirtschaft und vielen anderen Bereichen. Sie können beispielsweise verwendet werden, um physikalische Systeme wie elektrische Schaltungen, mechanische Systeme und thermische Systeme zu modellieren. Sie werden auch in der Datenanalyse, Optimierung und anderen Bereichen der angewandten Mathematik verwendet.
Methoden zur Berechnung linearer Systeme
Nachfolgend finden Sie eine kurze Beschreibung jeder der gängigen Methoden zur Berechnung linearer Systeme:
- Gauss-Eliminierung: Auch als Gauß-Jordan-Eliminierungsverfahren bekannt, umfasst dieses Verfahren das Transformieren der Koeffizientenmatrix in eine obere (oder untere) Dreiecksmatrix durch elementare Zeilenoperationen. Sobald die Matrix triangularisiert ist, kann das System einfach mit der Substitutionsmethode gelöst werden.
- LU-Zerlegung: Bei diesem Verfahren wird die Koeffizientenmatrix durch elementare Zeilenoperationen in zwei Dreiecksmatrizen (eine untere und eine obere) zerlegt. Die Koeffizientenmatrix wird unter Verwendung elementarer Zeilenoperationen faktorisiert, und dann kann das System unter Verwendung der faktorisierten Matrizen leicht gelöst werden.
- Cholesky-Zerlegung: Diese Methode ist eine spezialisierte Form der LU-Zerlegung für symmetrische und positiv definite Matrizen. Es beinhaltet das Faktorisieren der Koeffizientenmatrix in eine untere Dreiecksmatrix und ihre konjugierte Transponierte und das anschließende Lösen der resultierenden Dreieckssysteme.
- Methode der inversen Matrix: Bei diesem Verfahren wird die Koeffizientenmatrix invertiert und das Ergebnis mit dem Konstantenvektor multipliziert. Obwohl es sich um eine unkomplizierte Methode handelt, kann sie für große Matrizen rechenintensiv sein.
- Jacobis Methode: Dieses Verfahren ist ein iteratives Verfahren, bei dem die Koeffizientenmatrix in eine Diagonalmatrix und ihre Differenzen zerlegt wird. Es erfordert, dass die Koeffizientenmatrix diagonal dominant ist.
- Gauß-Seidel-Verfahren: Dieses Verfahren ist ein weiteres iteratives Verfahren, bei dem die Koeffizientenmatrix in eine untere Dreiecksmatrix und ihre Differenzen zerlegt wird. Es ähnelt dem Verfahren von Jacobi, kann aber für einige Matrizen schneller konvergieren.
- Methode der sukzessiven Entspannung: Dieses Verfahren ist eine Erweiterung des Gauß-Seidel-Verfahrens, bei dem ein Relaxationsparameter hinzugefügt wird, um die Konvergenz zu beschleunigen. Dies kann besonders für schlecht konditionierte Matrizen nützlich sein.
- Konjugierte Iterationsmethode: Diese Methode ist eine iterative Methode, die besonders nützlich für symmetrische und positiv definite Matrizen ist. Es beinhaltet die Auswahl eines Satzes orthogonaler Suchvektoren, die iterativ verfeinert werden, um zur Lösung zu konvergieren.
- Krylovs Methode: Diese Methode ist eine weitere iterative Methode, die die Idee von Krylov-Räumen verwendet, bei denen es sich um Unterräume handelt, die durch Anwenden der Koeffizientenmatrix auf einen Vektor erzeugt werden. Das Verfahren beinhaltet das Projizieren des Vektors von Konstanten auf den Krylov-Raum und das Minimieren des Approximationsfehlers.
- QR-Zerlegungsmethode: Dieses Verfahren beinhaltet das Faktorisieren der Koeffizientenmatrix in eine orthogonale Matrix und eine obere Dreiecksmatrix. Es kann verwendet werden, um lineare Systeme zu lösen und Matrixeigenwerte und Eigenvektoren zu berechnen.
