Un calculateur de systèmes linéaires est un outil utile pour trouver des solutions aux systèmes d'équations linéaires. Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations linéaires qui doivent être résolues simultanément. Les solutions de ce système peuvent être trouvées en utilisant plusieurs méthodes, telles que l'élimination de Gauss, l'élimination de Gauss-Jordan, la règle de Cramer, entre autres.
En se rappelant que les équations doivent être séparées par une ligne et les coefficients et le terme indépendant doivent être séparés par un espace. En cliquant sur "Calculer", la calculatrice résoudra le système d'équations en utilisant la méthode d'élimination de Gauss-Jordan et affichera les solutions dans le tableau des résultats.
Sumário
Calculateur de systèmes linéaires en ligne
À propos des systèmes linéaires
Un système linéaire est un ensemble d'équations linéaires qui doivent être résolues simultanément pour déterminer les valeurs des variables impliquées. Les équations linéaires sont des équations du premier degré à une ou plusieurs variables, telles que :
2x + 3y - z = 7 x - 4y + 5z = 10 3x + y + z = 6
Ces équations peuvent être écrites sous la forme matricielle Ax = b, où A est la matrice des coefficients, x est le vecteur des variables et b est le vecteur des constantes. Dans l'exemple ci-dessus, nous avons :
A = [2 3 -1; 1 -4 5; 3 1 1] x = [x; y; z] b = [7; 10; 6]
Résoudre un système linéaire signifie trouver les valeurs des variables x, y et z qui satisfont toutes les équations simultanément. Il existe plusieurs techniques pour résoudre des systèmes linéaires, telles que l'élimination de Gauss, la décomposition LU, la décomposition de Cholesky, entre autres.
Les systèmes linéaires ont de nombreuses applications dans les domaines de la science, de l'ingénierie, de l'économie et de nombreux autres domaines. Ils peuvent être utilisés, par exemple, pour modéliser des systèmes physiques tels que des circuits électriques, des systèmes mécaniques et des systèmes thermiques. Ils sont également utilisés dans l'analyse de données, l'optimisation et d'autres domaines des mathématiques appliquées.
Méthodes de calcul des systèmes linéaires
Vous trouverez ci-dessous une brève description de chacune des méthodes courantes de calcul des systèmes linéaires :
- Élimination de Gauss : également connue sous le nom de méthode d'élimination de Gauss-Jordan, cette méthode consiste à transformer la matrice de coefficients en une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure) par des opérations élémentaires sur les lignes. Une fois la matrice triangularisée, le système peut être facilement résolu en utilisant la méthode de substitution.
- Décomposition LU : cette méthode consiste à factoriser la matrice des coefficients en deux matrices triangulaires (une inférieure et une supérieure), par des opérations élémentaires sur les lignes. La matrice de coefficients est factorisée à l'aide d'opérations élémentaires sur les lignes, puis le système peut être facilement résolu à l'aide des matrices factorisées.
- Décomposition de Cholesky : cette méthode est une forme spécialisée de décomposition LU pour les matrices définies symétriques et positives. Il s'agit de factoriser la matrice de coefficients en une matrice triangulaire inférieure et sa transposée conjuguée, puis de résoudre les systèmes triangulaires résultants.
- Méthode de matrice inverse : cette méthode consiste à inverser la matrice des coefficients et à multiplier le résultat par le vecteur des constantes. Bien qu'il s'agisse d'une méthode simple, elle peut être coûteuse en calcul pour les grandes matrices.
- La méthode de Jacobi : cette méthode est une méthode itérative qui consiste à décomposer la matrice des coefficients en une matrice diagonale et leurs différences. Elle nécessite que la matrice des coefficients soit dominante en diagonale.
- Méthode de Gauss-Seidel : cette méthode est une autre méthode itérative qui consiste à décomposer la matrice des coefficients en une matrice triangulaire inférieure et leurs différences. Elle est similaire à la méthode de Jacobi, mais elle peut converger plus rapidement pour certaines matrices.
- Méthode de relaxation successive : cette méthode est une extension de la méthode de Gauss-Seidel qui consiste à ajouter un paramètre de relaxation pour accélérer la convergence. Cela peut être particulièrement utile pour les matrices mal conditionnées.
- Méthode d'itération conjuguée : cette méthode est une méthode itérative particulièrement utile pour les matrices symétriques et définies positives. Il s'agit de choisir un ensemble de vecteurs de recherche orthogonaux qui sont affinés itérativement pour converger vers la solution.
- La méthode de Krylov : cette méthode est une autre méthode itérative qui utilise l'idée des espaces de Krylov, qui sont des sous-espaces générés en appliquant la matrice de coefficients à un vecteur. La méthode consiste à projeter le vecteur de constantes sur l'espace de Krylov et à minimiser l'erreur d'approximation.
- Méthode de décomposition QR : cette méthode consiste à factoriser la matrice de coefficients en une matrice orthogonale et une matrice triangulaire supérieure. Il peut être utilisé pour résoudre des systèmes linéaires et pour calculer des valeurs propres et des vecteurs propres matriciels.
