آلة حاسبة للنظم الخطية

آلة حاسبة للأنظمة الخطية هي أداة مفيدة للعثور على حلول أنظمة المعادلات الخطية. وهي مجموعة من المعادلات الخطية التي يجب حلها بشكل متزامن. يمكن العثور على حلول هذا النظام باستخدام مختلف الأساليب، مثل طريقة الإقصاء الغوسي، وطريقة غوس-جوردان، وقاعدة كرامر، وغيرها.

تذكر أن يجب فصل المعادلات بسطر ويجب فصل الcoefficients والمصطلح المستقل بفراغ. عند النقر على "حساب"، ستقوم الآلة الحاسبة بحل نظام المعادلات باستخدام طريقة الإقصاء غوس-جوردان وعرض الحلول في جدول النتائج.

آلة حاسبة لحل المعادلات الخطية عبر الإنترنت

عن الأنظمة الخطية

نظام خطي هو مجموعة من المعادلات الخطية التي يجب حلها بشكل متزامن لتحديد قيم المتغيرات المعنية. المعادلات الخطية هي معادلات من الدرجة الأولى مع متغير واحد أو أكثر، مثل:

2x + 3y - z = 7 x - 4y + 5z = 10 3x + y + z = 6

يمكن كتابة هذه المعادلات في شكل مصفوفي كما Ax = b، حيث A هي مصفوفة العوامل، و x هو متجه المتغيرات و b هو متجه الثوابت. في المثال أعلاه، لدينا:

A = [2 3 -1; 1 -4 5; 3 1 1] x = [x; y; z] b = [7; 10; 6]

حل نظام خطي يعني العثور على قيم المتغيرات x و y و z التي ترضي جميع المعادلات في نفس الوقت. هناك عدة تقنيات لحل الأنظمة الخطية، مثل طريقة إليمينيشن غاوس، وتفكيك LU، وتفكيك Cholesky، وغيرها.

الأنظمة الخطية لها العديد من التطبيقات في العلوم والهندسة والاقتصاد والعديد من المجالات الأخرى. يمكن استخدامها، على سبيل المثال، لنمذجة الأنظمة الفيزيائية مثل الدوائر الكهربائية والأنظمة الميكانيكية والأنظمة الحرارية. كما يتم استخدامها في تحليل البيانات والتحسين وغيرها من مجالات الرياضيات التطبيقية.

طرق حساب الأنظمة الخطية

يتضمن ما يلي وصفاً موجزاً لكل من أساليب حساب أنظمة خطية الشائعة:

• القضاء على غاوس: أيضًا يُعرف باسم طريقة غاوس-جوردان، هذه الطريقة تنطوي على تحويل مصفوفة العوامل إلى مصفوفة مثلثة تُفوق (أو تحت) من خلال عمليات الصف البسيطة. بمجرد أن تكون المصفوفة مثلثة، يمكن حل النظام بسهولة باستخدام طريقة الاستبدال.
• تحليل LU: يتضمن هذا الأسلوب تقسيم مصفوفة العوامل إلى مصفوفتين مثلثتين (واحدة سفلية والأخرى علوية) باستخدام عمليات الصف البسيطة. يتم فصل مصفوفة العوامل باستخدام عمليات الصف البسيطة، ثم يمكن حل النظام بسهولة باستخدام المصفوفات المقسمة.
• تحليل تشوليسكي: هذه الطريقة هي شكل متخصص من تحليل LU للمصفوفات المتناظرة والمحددة إيجابيا. ينطوي على تفكيك مصفوفة العوامل في مصفوفة ثلاثية الزوايا سفلية ومعقوصة لها ، ثم حل الأنظمة ثلاثية الزوايا الناتجة.
• طريقة حساب المصفوفة المعكوسة: هذا الأسلوب يتضمن عكس مصفوفة العوامل وضرب النتيجة بمتجه الثوابت. على الرغم من كونه أسلوبًا مباشرًا، يمكن أن يكون مكلفًا حسابيا للمصفوفات الكبيرة.
• طريقة جاكوبي: هذه الطريقة هي طريقة تكرارية تشمل تفكيك مصفوفة العوامل إلى مصفوفة قطرية واختلافاتها. يتطلب أن تكون مصفوفة العوامل قطريا مهيمنة.
• طريقة غاوس-سيدل: هذه الطريقة هي طريقة تكرارية أخرى تتضمن تفكيك مصفوفة العوامل إلى مصفوفة مثلثة سفلى واختلافاتها. إنها مشابهة لطريقة جاكوبي، ولكن قد تتقدم بشكل أسرع لبعض المصفوفات.
• طريقة الاسترخاء التدريجي: هذه الطريقة هي امتداد لطريقة غاوس-سيدل الذي يشمل إضافة معامل الاسترخاء لتسريع التقارب. قد تكون مفيدة بشكل خاص للمصفوفات ذات الشروط الإضافية.
• طريقة التداخل المشترك: هذه الطريقة هي طريقة تكرارية مفيدة بشكل خاص للمصفوفات المتناظرة والمحددة إيجابيا. إنها تشمل اختيار مجموعة من القواميس البحثية المتعامدة التي يتم تحسينها تكراريا للتق convergeل إلى الحل.
• طريقة كريلوف: هذه الطريقة هي طريقة تكرارية أخرى تستخدم فكرة فضاءات Krylov، وهي فضاءات تولد من تطبيق مصفوفة ال-coefficients على ناقل معين. تتضمن الطريقة إسقاط ناقل الثوابت في فضاء Krylov وتقليص خطأ التقريب.
• طريقة QR لتحليل الانحلال: هذه الطريقة تتضمن تقسيم مصفوفة القواسم إلى مصفوفة متجهية ومصفوفة مثلثية تفوقية. يمكن استخدامها لحل الأنظمة الخطية وحساب القيم الذاتية والأوتافكتورات للمصفوفة.