Una calculadora de sistemas lineales es una herramienta útil para encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que deben resolverse simultáneamente. Las soluciones de este sistema se pueden encontrar utilizando varios métodos, como la eliminación de Gauss, la eliminación de Gauss-Jordan, la regla de Cramer, entre otros.
Recordando que las ecuaciones deben estar separadas por una línea y los coeficientes y el término independiente deben estar separados por un espacio. Al hacer clic en "Calcular", la calculadora resolverá el sistema de ecuaciones utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan y mostrará las soluciones en la tabla de resultados.
Sumário
Calculadora de sistemas lineales en línea
Acerca de los sistemas lineales
Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones lineales que deben resolverse simultáneamente para determinar los valores de las variables involucradas. Las ecuaciones lineales son ecuaciones de primer grado con una o más variables, como:
2x + 3y - z = 7 x - 4y + 5z = 10 3x + y + z = 6
Estas ecuaciones se pueden escribir en forma matricial Ax = b, donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de variables yb es el vector de constantes. En el ejemplo anterior, tenemos:
A = [2 3 -1; 1 -4 5; 3 1 1] x = [x; y; z] b = [7; 10; 6]
Resolver un sistema lineal significa encontrar los valores de las variables x, y y z que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente. Existen varias técnicas para resolver sistemas lineales, como la eliminación de Gauss, la descomposición LU, la descomposición de Cholesky, entre otras.
Los sistemas lineales tienen muchas aplicaciones en ciencia, ingeniería, economía y muchas otras áreas. Se pueden utilizar, por ejemplo, para modelar sistemas físicos como circuitos eléctricos, sistemas mecánicos y sistemas térmicos. También se utilizan en análisis de datos, optimización y otras áreas de las matemáticas aplicadas.
Métodos de cálculo de sistemas lineales
A continuación se muestra una breve descripción de cada uno de los métodos comunes de cálculo de sistemas lineales:
- Eliminación de Gauss: También conocido como el método de eliminación de Gauss-Jordan, este método consiste en transformar la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior (o inferior) a través de operaciones de fila elementales. Una vez que se triangula la matriz, el sistema se puede resolver fácilmente usando el método de sustitución.
- Descomposición LU: este método consiste en factorizar la matriz de coeficientes en dos matrices triangulares (una inferior y otra superior), a través de operaciones elementales de fila. La matriz de coeficientes se factoriza mediante operaciones de fila elementales, y luego el sistema se puede resolver fácilmente mediante las matrices factorizadas.
- Descomposición de Cholesky: este método es una forma especializada de descomposición LU para matrices definidas positivas y simétricas. Implica factorizar la matriz de coeficientes en una matriz triangular inferior y su transpuesta conjugada, y luego resolver los sistemas triangulares resultantes.
- Método de matriz inversa: este método consiste en invertir la matriz de coeficientes y multiplicar el resultado por el vector de constantes. Aunque es un método directo, puede ser computacionalmente costoso para matrices grandes.
- El método de Jacobi: este método es un método iterativo que consiste en descomponer la matriz de coeficientes en una matriz diagonal y sus diferencias. Requiere que la matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante.
- Método de Gauss-Seidel: este método es otro método iterativo que consiste en descomponer la matriz de coeficientes en una matriz triangular inferior y sus diferencias. Es similar al método de Jacobi, pero puede converger más rápido para algunas matrices.
- Método de relajación sucesiva: este método es una extensión del método de Gauss-Seidel que consiste en agregar un parámetro de relajación para acelerar la convergencia. Puede ser especialmente útil para matrices mal acondicionadas.
- Método de iteración conjugado: este método es un método iterativo que es especialmente útil para matrices simétricas y definidas positivas. Implica elegir un conjunto de vectores de búsqueda ortogonales que se refinan iterativamente para converger a la solución.
- El método de Krilov: este método es otro método iterativo que utiliza la idea de los espacios de Krylov, que son subespacios generados al aplicar la matriz de coeficientes a un vector. El método consiste en proyectar el vector de constantes en el espacio de Krylov y minimizar el error de aproximación.
- Método de descomposición QR: este método consiste en factorizar la matriz de coeficientes en una matriz ortogonal y una matriz triangular superior. Se puede utilizar para resolver sistemas lineales y calcular valores propios y vectores propios de matrices.
