Una calcolatrice per sistemi lineari è uno strumento utile per trovare le soluzioni di sistemi di equazioni lineari. Un sistema di equazioni lineari è un insieme di equazioni lineari che devono essere risolte simultaneamente. Le soluzioni di questo sistema possono essere trovate utilizzando diversi metodi, come l'eliminazione di Gauss, l'eliminazione di Gauss-Jordan, la regola di Cramer, tra gli altri.
Lembrando que as equações devem ser separadas por linha e os coeficientes e o termo independente devem ser separados por espaço. Ao clicar em “Calcular”, a calculadora irá resolver o sistema de equações utilizando o método da eliminação de Gauss-Jordan e exibir as soluções na tabela de resultados.
Riepilogo
Calcolatrice di Sistemi Lineari Online
Sui Sistemi Lineari
Un sistema lineare è un insieme di equazioni lineari che devono essere risolte simultaneamente per determinare i valori delle variabili coinvolte. Le equazioni lineari sono equazioni di primo grado con una o più variabili, come:
2x + 3y - z = 7 x - 4y + 5z = 10 3x + y + z = 6
Queste equazioni possono essere scritte nella forma matriciale Ax = b, dove A è la matrice dei coefficienti, x è il vettore delle variabili e b è il vettore delle costanti. Nell'esempio sopra, abbiamo:
A = [2 3 -1; 1 -4 5; 3 1 1] x = [x; y; z] b = [7; 10; 6]
Risolver un sistema lineare significa trovare i valori delle variabili x, y e z che soddisfano tutte le equazioni simultaneamente. Ci sono diverse tecniche per risolvere sistemi lineari, come l'eliminazione di Gauss, la decomposizione LU, la decomposizione di Cholesky, tra le altre.
I sistemi lineari hanno molte applicazioni nella scienza, nell'ingegneria, nell'economia e in molte altre aree. Possono essere utilizzati, ad esempio, per modellare sistemi fisici, come circuiti elettrici, sistemi meccanici e sistemi termici. Sono anche utilizzati nell'analisi dei dati, nell'ottimizzazione e in altri ambiti della matematica applicata.
Metodi per calcolare Sistemi Lineari
Di seguito è una breve descrizione di ciascun metodo comune per il calcolo dei sistemi lineari:
- Eliminação de Gauss: noto anche come metodo di eliminazione di Gauss-Jordan, questo metodo comporta la trasformazione della matrice dei coefficienti in una matrice triangolare superiore (o inferiore) attraverso operazioni elementari di riga. Una volta che la matrice è triangolarizzata, il sistema può essere facilmente risolto utilizzando il metodo di sostituzione.
- Decomposição LU: questo metodo implica la fattorizzazione della matrice dei coefficienti in due matrici triangolari (una inferiore e una superiore) tramite operazioni elementari di linea. La matrice dei coefficienti viene fattorizzata utilizzando operazioni elementari di linea, e quindi il sistema può essere facilmente risolto utilizzando le matrici fattorizzate.
- Decomposição de Cholesky: Questo metodo è una forma specializzata di decomposizione LU per matrici simmetriche e definite positive. Coinvolge la fattorizzazione della matrice dei coefficienti in una matrice triangolare inferiore e la sua trasposta coniugata, e poi la risoluzione dei sistemi triangolari risultanti.
- Metodo della matrice inversa: questo metodo coinvolge l'inversione della matrice dei coefficienti e la moltiplicazione del risultato per il vettore delle costanti. Sebbene sia un metodo diretto, può essere computazionalmente costoso per matrici grandi.
- Método de Jacobi: Questo metodo è un metodo iterativo che coinvolge la decomposizione della matrice dei coefficienti in una matrice diagonale e le sue differenze. Richiede che la matrice dei coefficienti sia diagonalmente dominante.
- Método de Gauss-Seidel: Questo metodo è un altro metodo iterativo che coinvolge la decomposizione della matrice dei coefficienti in una matrice triangolare inferiore e le sue differenze. È simile al metodo di Jacobi, ma può convergere più rapidamente per alcune matrici.
- Metodo di rilassamento progressivo: Questo metodo è un'estensione del metodo di Gauss-Seidel che coinvolge l'aggiunta di un parametro di rilassamento per accelerare la convergenza. Può essere particolarmente utile per le matrici mal condizionate.
- Metodo dell'iterazione coniugata: questo metodo è un metodo iterativo che è particolarmente utile per matrici simmetriche e definite positive. Comporta la scelta di un insieme di vettori di ricerca ortogonali che vengono raffinati iterativamente per convergere verso la soluzione.
- Método de Krylov: Questo metodo è un altro metodo iterativo che utilizza l'idea degli spazi di Krylov, che sono sottospazi generati dall'applicazione della matrice dei coefficienti a un vettore. Il metodo comporta la proiezione del vettore delle costanti nello spazio di Krylov e la minimizzazione dell'errore di approssimazione.
- Metodo di decomposizione QR: Questo metodo implica la fattorizzazione della matrice dei coefficienti in una matrice ortogonale e una matrice triangolare superiore. Può essere utilizzato per risolvere sistemi lineari e per calcolare gli autovalori e gli autovettori della matrice.
